단위와 벡터/스칼라

단위와 벡터/스칼라

물리량과 단위란?

• 물리량 = 측정할 수 있는 것 (길이, 시간, 무게)
• 단위 = 그 크기를 재는 기준 자

  "책상이 3이야" -> 3? 3m? 3cm?

• 숫자만으로는 의미가 없고, 반드시 단위가 붙어야 물리량이 됩니다.

SI 기본 단위

전 세계가 약속한 표준의 SI 단위계입니다. 이 중 역학에서 쓰는 건 딱 3개입니다.

물리량	단위	기호
길이	미터	m
질량	킬로그램	kg
시간	초	s

• 역학은 이 길이, 질량, 시간 (L, M, T) 세 가지만으로 거의 모든 걸 표현합니다.

유도 단위 (기본 단위를 조합한 것)

물리량	단위	사실은 이런 뜻	기본 단위로 풀면
속도	m/s	"시간당 얼마나 갔나"	길이 ÷ 시간
가속도	m/s²	"시간당 속도가 얼마나 변했나"	길이 ÷ 시간²
힘	N (뉴턴)	"질량 × 가속도"	kg·m/s²
에너지·일	J (줄)		kg·m²/s² = N·m
일률	W (와트)		J/s

• 왜 힘의 단위가 kg·m/s² 일까? → F = ma 중학교때 외운것 같기도..
• (질량 kg) × (가속도 m/s²) = kg·m/s² = 1 N

접두어 (큰 수, 작은 수 줄여쓰기)

접두어	기호	배수	예
킬로	k	×1,000	1 km = 1,000 m
센티	c	÷100	1 cm = 0.01 m
밀리	m	÷1,000	1 mm = 0.001 m
마이크로	μ	÷100만

벡터

방향이 왜 필요할까.

어떤 것은 크기만 있으면 끝날 수도 있어요. 예를 들어 오늘의 기온이 30도라든가, 몸무게가 60kg이라든가. 이렇게 숫자 하나면 완성되는 것들을 스칼라라고 해요. 그런데 어떤 건 크기만 말해서는 잘 안 되는 것들이 있어요.

• 5N으로 민다 -> 근데 어느 쪽으로? 앞? 뒤? 모르면 어디로 갈지 알 수 없어요.
• 시속 60km -> 어디로? 집으로 가는 60km과 반대로 가는 60km은 다르니까요.

이렇게 '얼마나'랑 '어느 쪽으로'를 둘 다 말해야 완성되는 것, 이것이 벡터예요.

벡터가 필요한 이유는 우리가 사는 공간이 방향이 있는 곳이라 그래요. 위, 아래, 앞, 뒤, 왼쪽, 오른쪽은 다르니까요.

	스칼라 (크기만)	벡터 (크기 + 방향)
예시	질량, 시간, 온도, 속력	힘, 속도, 가속도

방향이 다르면 결과가 달라져요.

똑같은 크기라도 방향이 다르면 결과가 완전히 바뀌는 걸 느껴봐요. 두 사람이 상자를 각각 10N씩 밀었다고 했을 때

• 같은 쪽으로 밀면 -> 20N
• 반대로 밀면 -> 0N
• 직각으로 밀면 -> 14N

힘은 셋 다 10 + 10인데 전부 다르게 나와요. 이미 아시겠지만 방향이 달라서 그래요.

때문에 벡터는 그냥 못 더해요. 방향까지 봐야 합쳐지기 때문이죠. 10 + 10 = 20이 항상 맞는게 아니라는 것, 이게 벡터의 개념입니다.

비스듬한 건 "가로 + 세로"로 쪼갭니다.

비스듬한 대각선은 다루기 귀찮기 때문에, 이걸 가로 화살표 + 세로 화살표로 쪼갭니다.

      ↗   ← 비스듬한 힘
     /|
    / | ← 세로 부분
   /  |
  /___|
    ↑
  가로 부분
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가로와 세로는 서로 상관 안 해요.

가로에서 벌어지는 일은 세로에 전혀 영향을 안 줘요. 반대도 마찬가지예요.

갈릴레오의 유명한 예 중 하나가

• 공을 그냥 아래로 떨어뜨리기 vs 옆으로 던지기
• 신기하게도 둘 다 땅에 닿는 시간은 똑같더라고요

왜냐면 옆으로 던진 공이 옆으로 가는 움직임은, 아래로 떨어지는 움직임에 아무 영향도 안 주기 때문이에요. 아래로 떨어지는 속도는 오직 중력이 정하고, 옆으로 가는 건 그거랑 따로 진행되기 때문이죠.

그래서 복잡한 대각선 움직임도 가로 문제와 세로 문제, 두 개의 쉬운 문제로 나눠서 풀 수 있어요. 이 하나가 나중에 포물선을 이해하는 열쇠가 됩니다.

쪼개는 방법 크기가 정해진 비스듬한 화살표는 결국 직각삼각형의 빗변입니다. 그 삼각형의 밑변이 가로 부분, 높이가 세로 부분입니다. (각도가 주어지면 sin, cos로 계산합니다.)

벡터를 더한다는 건

벡터를 더하는 건 여러 영향이 실제로 어떻게 합쳐지는지를 보는 거예요.

제일 쉬운 방법: 화살표 꼬리에 다음 화살표 머리를 이어 붙이기

 A →→→→
        B ↗↗
 A + B = A 시작점에서 B 끝점까지
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A만큼 갔다가 이어서 B만큼 더 갔을 때 최종 위치 - 그게 합이에요. 그림을 보면 이해가 될 거예요.

속력 vs 속도

속력 = 크기만. "얼마나 빠른가." (예: 60km/h) 속도 = 크기 + 방향. "얼마나 빠르며 어디로 가는가." (예: 북쪽으로 60km/h)

무언가 '변했다'를 설명할 때 이 둘의 차이가 중요해져요.

회전목마의 말이 일정한 빠르기로 빙글빙글 돈다고 했을 때

• 속력은 안 변해요 (계속 같은 빠르기)
• 그런데 방향은 계속 바뀌죠 -> 즉 속도는 계속 변하는 중이에요

속도가 변한다는 건 -> 가속되고 있다는 뜻이죠. 그래서 회전목마 말은 빠르기가 그대로여도 사실 가속 중이에요.

이건 크기만 있는 속력으로는 설명하기 어렵습니다. 방향까지 있는 속도라야 방향이 바뀌는 것도 변화라고 할 수 있죠. 지금은 방향이 바뀌는 것도 변화고, 이게 나중에는 원 운동의 개념이 됩니다.

정리

• 잰다 = 비교한다는 것
• 역학의 모든 양은 길이, 질량, 시간 세 조각의 조합
• 식의 양쪽은 단위가 같아야 하고, 단위만 봐도 답을 검사하거나 짐작할 수 있습니다.
• 세상엔 크기만으론 부족한 양(벡터)이 있다.
• 속도 != 속력, 방향이 바뀌는 것도 변화입니다.